Toán 10 Bài 25 (Kết nối tri thức): Nhị thức Newton| Giải Toán lớp 10

Giải bài bác tập luyện Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Bạn đang xem: Toán 10 Bài 25 (Kết nối tri thức): Nhị thức Newton| Giải Toán lớp 10

A. Các thắc mắc nhập bài

Giải Toán 10 trang 72 Tập 2

Mở đầu trang 72 Toán 10 Tập 2: Ở lớp 8, khi tham gia học về hằng đẳng thức, tao đang được biết khai triển:

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Quan sát những đơn thức ở vế nên của những đẳng thức bên trên, hãy đánh giá về quy luật số nón của a và b. cũng có thể tìm kiếm được phương pháp tính những thông số của đơn thức nhập khai triển (a + b)ⁿ khi n ∈ {4; 5} không?

Lời giải

Ta có:

a² + 2ab + b² = a² . b⁰ + 2 . a¹ . b¹ + b² . a⁰ 

a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ . b⁰ + 3 . a² . b¹  + 3 . a¹ . b² + a⁰ . b³

Quan sát vế nên của những đẳng thức, tao thấy đấy là một tổng những đơn thức nhị đổi mới, bậc 2 và bậc 3, và số nón của a được bố trí theo đuổi trật tự tách dần dần, còn số nón của b theo đuổi trật tự tăng dần dần.

Sau khi tham gia học bài bác Nhị thức Newton này, tao hoàn toàn có thể tìm kiếm được phương pháp tính những thông số của đơn thức nhập khai triển (a + b)ⁿ khi n ∈ {4; 5}.

Hoạt động 1 trang 72 Toán 10 Tập 2: Sơ đồ gia dụng hình cây của tích nhị nhị thức (a + b) . (c + d) được xây đắp như sau:

• Từ một điểm gốc, kẻ những mũi thương hiệu, từng mũi thương hiệu ứng với 1 đơn thức (gọi là nhãn về mũi tên) của nhị thức loại nhất (H.8.6);

• Từ ngọn của từng mũi thương hiệu đang được xây đắp, kẻ những mũi thương hiệu, từng mũi thương hiệu ứng với 1 đơn thức của nhị thức loại hai;

• Tại ngọn của những mũi thương hiệu xây đắp bên trên bước sau nằm trong, ghi lại tích của những nhãn của những mũi thương hiệu lên đường kể từ điểm gốc cho tới đầu mút bại.

Hãy lấy tổng của những tích cảm nhận được và đối chiếu thành phẩm với khai triển của tích (a + b) . (c + d).

Lời giải

Tổng những tích cảm nhận được kể từ sơ đồ gia dụng hình cây là: a.c + a.d + b.c + b.d.

Khai triển của tích (a + b) . (c + d) = a . (c + d) + b . (c + d) = a.c + a.d + b.c + b.d.

Vậy tổng của những tích nhận được kể từ sơ đồ gia dụng hình cây trùng với kết quả của khai triển (a + b) . (c + d).

Hoạt động 2 trang 72 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết thêm những đơn thức không đủ (...) nhập sơ đồ gia dụng hình cây (H.8.7) của tích (a + b) . (a + b) . (a + b).

Có từng nào tích cảm nhận được thứu tự vì chưng a³, a²b, ab², b³?

Hãy đối chiếu bọn chúng với những thông số cảm nhận được Lúc khai triển (a + b)³.

Lời giải

Theo quy tắc xây đắp sơ đồ gia dụng hình cây như HĐ1, tao điền được những biểu thức nhập sơ đồ gia dụng hình cây của tích (a + b) . (a + b) . (a + b) như hình sau:

Từ bại, tao có:

- có một đơn thức vì chưng a³;

- sở hữu 3 đơn thức vì chưng a²b;

- sở hữu 3 đơn thức vì chưng ab²;

- có một đơn thức vì chưng b³.

Các thông số nhận được: 1, 3, 3, 1.

Ở lớp 8 tao đang được biết, khai triển (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Vậy những thông số của khai triển trừng với những thông số của những tích cảm nhận được.

Giải Toán 10 trang 73 Tập 2

Hoạt động 3 trang 73 Toán 10 Tập 2: Sơ đồ gia dụng hình cây của khai triển (a + b)⁴ được tế bào mô tả như Hình 8.9. Sau Lúc khai triển, tao nhận được một tổng bao gồm 2⁴ (theo quy tắc nhân) đơn thức sở hữu dạng x . nó . z . t, nhập bại từng x, nó, z, t là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu như x, nó, t là a, còn z là b thì tao sở hữu đơn thức a . a . b . a, thu gọn gàng là a³b. Để sở hữu đơn thức này, thì nhập 4 nhân tử x, nó, z, t có một nhân tử là b, 3 nhân tử còn sót lại là a. Khi bại số đơn thức đồng dạng với a³b trong tổng là $C_4^1$.

Lập luận tương tự động bên trên, người sử dụng kỹ năng về tổng hợp, hãy cho biết thêm nhập tổng nêu bên trên, sở hữu từng nào đơn thức đồng dạng với từng đơn thức thu gọn gàng sau:

• a⁴; • a³b; • a²b²; • ab³; • b⁴.

Lời giải

- Để sở hữu đơn thức a⁴ thì nên sở hữu 4 nhân tử a, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a⁴ trong tổng là: $C_4^0$ = 1;

- Để sở hữu đơn thức a³b thì nên sở hữu 3 nhân tử a, 1 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a³b nhập tổng là: $C_4^1$ = 4;

- Để sở hữu đơn thức a²b² thì nên sở hữu 2 nhân tử a, 2 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a²b² trong tổng là: $C_4^2$ = 6;

- Để sở hữu đơn thức ab³ thì nên có một nhân tử a, 3 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với ab³ trong tổng là: $C_4^3$ = 4;

- Để sở hữu đơn thức b⁴ thì nên sở hữu 4 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với b⁴ trong tổng là: $C_4^4$ = 1.

Luyện tập luyện 1 trang 73 Toán 10 Tập 2: Khai triển (x – 2)⁴.

Lời giải

Thay a = x và b = – 2 nhập công thức khai triển của (a + b)⁴ ta được:

(x – 2)⁴ 

= x⁴ + 4x³ . (– 2) + 6x² . (–2)² + 4x . (– 2)³ + (– 2)⁴ 

= x⁴ – 8x³ + 24x² – 32x + 16.

Giải Toán 10 trang 74 Tập 2

Hoạt động 4 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tương tự động như HĐ3, sau khoản thời gian khai triển (a + b)⁵, tao nhận được một tổng bao gồm 2⁵ đơn thức sở hữu dạng x . nó . z . t . u, nhập bại từng kí hiệu x, nó, z, t, u là a hoặc b. Chẳng hạn, nếu như x, z là a, còn nó, t, u là b thì tao sở hữu đơn thức a . b . a . b . b, thu gọn gàng là a²b³. Để sở hữu đơn thức này, thì nhập 5 nhân tử x, nó, z, t, u sở hữu 3 nhân tử là b, 2 nhân tử còn sót lại là a. Khi bại số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là $C_5^3$.

Lập luận tương tự động như bên trên, người sử dụng kỹ năng về tổng hợp, hãy cho biết thêm, nhập tổng cảm nhận được nêu bên trên sở hữu từng nào đơn thức đồng dạng với từng đơn thức thu gọn gàng sau:

• a⁵; • a⁴b; • a³b²; • a²b³; •ab⁴; •b⁵.

Lời giải

- Để sở hữu đơn thức a⁵ thì nên sở hữu 5 nhân tử a, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a⁵ trong tổng là: $C_5^0$ = 1;

- Để sở hữu đơn thức a⁴b thì nên sở hữu 4 nhân tử a, 1 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a⁴b nhập tổng là: $C_5^1$ = 5;

- Để sở hữu đơn thức a³b² thì nên sở hữu 3 nhân tử a, 2 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a³b² trong tổng là: $C_5^2$ = 10;

- Để sở hữu đơn thức a²b³ thì nên sở hữu 2 nhân tử a, 3 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với a²b³ trong tổng là: $C_5^3$ = 10;

- Để sở hữu đơn thức ab⁴ thì nên có một nhân tử a, 4 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với ab⁴ là: $C_5^4$ = 5;

- Để sở hữu đơn thức b⁵ thì nên sở hữu 5 nhân tử b, Lúc bại số đơn thức đồng dạng với b⁵ trong tổng là: $C_5^5$ = 1.

Luyện tập luyện 2 trang 74 Toán 10 Tập 2: Khai triển (3x – 2)⁵.

Lời giải

Thay a = 3x và b = – 2 nhập công thức khai triển của (a + b)⁵ ta được:

(3x – 2)⁵ 

= (3x)⁵ + 5. (3x)⁴. (–2) + 10 . (3x)³ . (– 2)² + 10 . (3x)² . (– 2)³ + 5 . (3x) . (– 2)⁴ + (– 2)⁵

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1080x³ – 720x² + 240x – 32.

Vận dụng trang 74 Toán 10 Tập 2:

a) Dùng nhị số hạng thứ nhất nhập khai triển của (1 + 0,05)⁴ nhằm tính độ quý hiếm giao động của một,05⁴.

b) Dùng PC di động tính độ quý hiếm của một,05⁴ và tính sai số vô cùng của độ quý hiếm giao động cảm nhận được ở câu a.

Xem thêm: Bước Sóng Các Vùng Bức Xạ Ánh Sáng Mặt Trời

Lời giải

a) Viết 1,05⁴ = (1 + 0,05)⁴.

Thay thế a = 1, b = 0,05 nhập công thức khai triển (a + b)⁴ ta có:

1,05⁴ = (1 + 0,05)⁴ = 1⁴ + 4 . 1³ . 0,05 + 6 . 1² . 0,05² + 4 . 1 . 0,05³ + 0,05⁴.

1,05⁴ ≈ 1⁴ + 4 . 1³ . 0,05 = 1 + 0,2 = 1,2.

Vậy độ quý hiếm giao động của một,05⁴ là 1,2.

b) Sử dụng PC di động, tao đánh giá được rằng: 1,05⁴ = 1,21550625.

Sai số vô cùng là: ∆ = |1,21550625 – 1,2| = 0,01550625.

B. Bài tập luyện

Bài 8.12 trang 74 Toán 10 Tập 2: Khai triển những nhiều thức:

a) (x – 3)⁴;

b) (3x – 2y)⁴;

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴;

d) (x – 2y)⁵.

Lời giải

Áp dụng những công thức khai triển của (a + b)⁴  và (a + b)⁵.

a) (x – 3)⁴ 

= x⁴ + 4 . x³ . (–3) + 6 . x² . (–3)² + 4 . x . (–3)³ + (–3)⁴

= x⁴ – 12x³ + 54x² – 108x + 81.

b) (3x – 2y)⁴ 

= (3x)⁴ + 4 . (3x)³ . (– 2y) + 6 . (3x)² . (– 2y)² + 4 . (3x) . (– 2y)³ + (– 2y)⁴

= 81x⁴ – 216x³y + 216x²y² – 96xy³ + 16y⁴.

c) (x + 5)⁴ + (x – 5)⁴ 

= (x⁴ + 4x³ . 5 + 6x² . 5² + 4x . 5³ + 5⁴) + [x⁴ + 4x³ . (– 5) + 6x² . (– 5)² + 4x . (– 5)³ + (– 5)⁴]

= (x⁴ + x⁴) + (20x³ – 20x³) + (150x² + 150x²) + (500x – 500x) + (625 + 625)

= 2x⁴ + 300x² + 1250.

d) (x – 2y)⁵ 

= x⁵ + 5x⁴ . (– 2y) + 10x³ . (– 2y)² + 10x² . (– 2y)³ + 5x . (2y)⁴ + (– 2y)⁵

= x⁵ – 10x⁴y + 40x³y² – 80x²y³ + 80xy⁴ – 32y⁵.

Bài 8.13 trang 74 Toán 10 Tập 2: Tìm thông số của x⁴ nhập khai triển của (3x –1)⁵.

Lời giải

Số hạng chứa chấp x⁴ là: 5 . (3x)⁴ . (– 1) = – 405x⁴.

Vậy thông số của x⁴ nhập khai triển của (3x – 1)⁵ là: – 405.

Bài 8.14 trang 74 Toán 10 Tập 2: Biểu diễn ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là những số nguyên vẹn.

Lời giải

Ta có:

${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2.{\left(\sqrt{2}\right)}^3+\mathrm{5.3.}{\left(\sqrt{2}\right)}^4+{\left(\sqrt{2}\right)}^5$$=3^5+{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.2+{10.3}^2\mathrm{.2.}\sqrt{2}+\mathrm{5.3.4}+4\sqrt{2}$.

${\left(3-\sqrt{2}\right)}^5=3^5+{5.3}^4.\left(-\sqrt{2}\right)+{10.3}^3.{\left(-\sqrt{2}\right)}^2+{10.3}^2.{\left(-\sqrt{2}\right)}^3+\mathrm{5.3.}{\left(-\sqrt{2}\right)}^4+{\left(-\sqrt{2}\right)}^5$$=3^5-{5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^3.2-{10.3}^2\mathrm{.2.}\sqrt{2}+\mathrm{5.3.4}-4\sqrt{2}$.

Suy ra: ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$$=2\left({5.3}^4.\sqrt{2}+{10.3}^2.2\sqrt{2}+4\sqrt{2}\right)$

$=2.589\sqrt{2}=1178\sqrt{2}$$=0+1178\sqrt{2}$.

Vậy biểu diễn ${\left(3+\sqrt{2}\right)}^5-{\left(3-\sqrt{2}\right)}^5$ dưới dạng $a+b\sqrt{2}$ với a, b là những số nguyên vẹn tao được $0+1178\sqrt{2}$.

Giải Toán 10 trang 75 Tập 2

Bài 8.15 trang 75 Toán 10 Tập 2: a) Dùng hai số hạng thứ nhất nhập khai triển của (1 + 0,02)⁵ để tính độ quý hiếm giao động của một,02⁵.

b) Dùng PC di động tính độ quý hiếm của một,02⁵ và tính sai số vô cùng của độ quý hiếm giao động cảm nhận được ở câu a.

Lời giải

a) Viết 1,02⁵ = (1 + 0,02)⁵.

Thay thế a = 1, b = 0,02 nhập công thức khai triển (a + b)⁵ ta có:

1,02⁵ = (1 + 0,02)⁵ = 1⁵ + 5 . 1⁴ . (0,02) + 10 . 1³ . (0,02)² + 10 . 1² . (0,02)³ + 5 . 1 . (0,02)⁴ + (0,02)⁵

 Do đó: 1,02⁵ = (1 + 0,02)⁵  ≈ 1⁵ + 5 . 1⁴ . 0,02 = 1,1.

b) Sử dụng PC di động, tao đánh giá được: 1,02⁵ = 1,104080803.

Sai số vô cùng là: ∆ = |1,104080803 – 1,1| = 0,004080803.

Bài 8.16 trang 75 Toán 10 Tập 2: Số dân của một tỉnh ở thời khắc thời điểm hiện tại là khoảng tầm 800 ngàn người. Giả sử rằng tỉ trọng tăng số lượng dân sinh mỗi năm của tỉnh bại là r%.

a) Viết công thức tính số dân của tỉnh bại sau một năm, sau hai năm. Từ bại suy ra sức thức tính số dân của tỉnh bại sau 5 năm nữa là $P=800{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^5$ (nghìn người).

b) Với r = 1,5, người sử dụng nhị số hạng đầu nhập khai triển của (1 + 0,015)⁵, hãy dự trù số dân của tỉnh bại sau 5 năm nữa (theo đơn vị chức năng ngàn người).

Lời giải

a) Để tính số dân năm tiếp theo, tao lấy số dân năm trước đó cùng theo với số dân tăng mỗi năm (Số dân tăng mỗi năm là r% của số dân năm trước).

Số dân của tỉnh bại sau một năm là: 

$P_1=800+800.r\%=800\left(1+r\%\right)=800\left(1+\frac{r}{100}\right)$ (nghìn người).

Số dân của tỉnh bại sau hai năm là:  

$P_2=P_1+P_1.r\%$$=800\left(1+\frac{r}{100}\right)+800\left(1+\frac{r}{100}\right).\frac{r}{100}$$=800\left(1+\frac{r}{100}\right)\left(1+\frac{r}{100}\right)=800{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^2$ (nghìn người).

Suy ra sức thức tính số dân của tỉnh bại sau 5 năm nữa là: 

$P=800{\left(1+\frac{r}{100}\right)}^5$ (nghìn người).

b) Với r = 1,5, suy đi ra $\frac{r}{100}=\frac{\mathrm{1,5}}{100}=\mathrm{0,015}$.

Ta sở hữu khai triển:

(1 + 0,015)⁵ 

= 1⁵ + 5 . 1⁴ . 0,015 + 10 . 1³ . (0,015)² + 10 . 1² . (0,015)³ + 5 . 1 . (0,015)⁴ + (0,015)⁵.

Do đó: (1 + 0,015)⁵ ≈ 1⁵ + 5 . 1⁴ . 0,015 = 1,075.

Số dân của tỉnh bại sau 5 năm nữa là:

 P₅ = 800 . (1 + 0,015)⁵ ≈ 800 . 1,075 = 860 (nghìn người).

Vậy số dân của tỉnh bại sau 5 năm nữa khoảng tầm 860 ngàn người.

Xem tăng câu nói. giải bài bác tập luyện Toán lớp 10 Kết nối học thức với cuộc sống đời thường hoặc, cụ thể khác:

Bài tập luyện cuối chương 8

Bài 26: Biến cố và khái niệm truyền thống của xác suất

Xem thêm: 50+ Mẫu background powerpoint đẹp cho bài thuyết trình

Bài 27: Thực hành tính phần trăm theo đuổi khái niệm cổ điển

Bài tập luyện cuối chương 9

Một số nội dung cho tới hoạt động và sinh hoạt thưởng thức hình học