12.ma trận và dịnh thức

1. MA TRẬN – ĐỊNH THỨC Ma trận cung cấp m n là 1 trong những bảng số hình chữ nhật với m loại, n cột, m n phần tử 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n m m mn a a a a a a A a a a             1.Định nghĩa quan liêu trọng: - Ma trận vuông: m n ; Khi cơ đàng chéo cánh đó là đàng chéo cánh chuồn kể từ góc bên trên phía bên trái xuống bên dưới góc dưới mặt mũi, đàng chéo cánh phụ chuồn kể từ góc bên dưới phía bên trái lên góc bên trên phía bên phải. - Ma trận tam giác trên: 11 12 1 22 2 ... 0 ... ... ... ... ... 0 0 ... n n nn a a a a a a             ( những thành phần ở bên dưới đàng chéo cánh chủ yếu vì như thế 0 ) Tương tự động với quái trận tam giác dưới: 11 21 22 1 2 0 ... 0 ... 0 ... ... ... ... ...n n nn a a a a a a             - Ma trận đàng chéo: 11 22 0 ... 0 0 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... nn a a a             ( những thành phần ngoài đàng chéo cánh chủ yếu vì như thế 0 ) -Ma trận đơn vị: 1 0 ... 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... 1 nE             (ma trận đàng chéo cánh, những thành phần bên trên đàng chéo cánh vì như thế 1) Ma trận gửi vị T A : gửi cột trở thành loại và loại trở thành cột 2.Các phép tắc toán: - 2 quái trận nằm trong cấp: với những thành phần ở nằm trong địa điểm cùng nhau. :[aij]mxn+ [bij]mxn = [aij+bij]mxn -Nhân quái trận với cùng một số: Nhân từng thành phần của quái trận với số cơ. : k x [aij]mxn = [k x aij]mxn -Tích của 2 quái trận:

Bạn đang xem: 12.ma trận và dịnh thức

2. Chỉ rất có thể nhân 2 quái trận Khi số cột của quái trận loại nhất thông qua số loại của quái trận thứ hai. [ ] ; [ ]ij m n ij n pA a B b   thì [ ]ij m pAB C c   với cùng một 1 2 2 1 ... n ij ik kj i j i j in nj k c a b a b a b a b       ( tớ cố định và thắt chặt số i và j , mang lại k chạy xuyên thấu những cột của quái trận A và những loại của quái trận B ) Phép nằm trong sở hữu những đặc thù như phép tắc nằm trong số học tập thường thì, phép tắc nhân thì sở hữu phân phối, kết hợp nhưng không tồn tại kí thác hoán. (AB)t = BtAt 3.Định thức: Kí hiệu là det A hoặc A 3.1: Định thức cung cấp 2, cung cấp 3: 1 2 1 4 2 3 3 4 a a a a a a a a        ; 1 1 1 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 3 1 3 3 3 a b c a b c a b c b c a a b c c b a b a c a b c a b c               3.2: Cách tính quyết định thức bậc cao hơn nữa 3: 3.2.1: Cách 1: Khai triển quyết định thức (Áp dụng với những bài bác sở hữu xuất hiện tại những số 0) Khái niệm phần bù đại số của một thành phần nhập quái trận ( đặc biệt cần thiết ) Xét quái trận 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... [ ] ... ... ... ... ... n n ij n n n n nn a a a a a a A a a a a               Xét thành phần ija ( kí thác của loại i và cột j ). Xóa chuồn loại i và cột j tớ được một quái trận bậc 1n , có định thức là ijM . Phần bù đại số của thành phần ija là ( 1)i j ij ijA M   Ví dụ: Xét quái trận 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A          Phần tử 11 1a  . Xóa chuồn loại 1 và cột 1 được quái trận 5 6 8 9       , quyết định thức 11 5.9 6.8 3M     1 1 11 11( 1) . 3A M      .

3. Phần tử 12 2a  . Xóa chuồn loại 1 và cột 2 được quái trận 4 6 7 9       , quyết định thức 12 4.9 6.7 6M     1 2 12 12( 1) . 6A M     Công thức khai triển quyết định thức: det A= d Khai triển theo đòi loại thứ 1 : n ij ij j i d a A    ( i cố định và thắt chặt, j chạy ) Khai triển theo đòi cột thứ 1 : n ij ij i j d a A    ( j cố định và thắt chặt, i chạy ) Lưu ý lựa chọn cột hoặc mặt hàng có rất nhiều số 0 nhằm dùng công thức dễ dàng rộng lớn. 3.2.2: Cách 2: Đưa về quái trận tam giác ( Phổ đổi thay nhất ) Với quái trận tam giác, sở hữu công thức quyết định thức: 11 12 1 22 2 11 22 ... 0 ... . .... ... ... ... ... 0 0 ... n n nn nn a a a a a a a a a  Ta tiếp tục chuyển đổi quái trận tiếp tục mang lại về dạng tam giác.Biến thay đổi phụ thuộc vào 2 đặc thù sau: Nếu thay đổi điểm 2 loại thì quyết định thức thay đổi vệt. Nếu nhân một loại với một số trong những k bất kì rồi nằm trong vào trong dòng không giống thì quyết định thức ko đổi Ta chuyển đổi ngược kể từ bên dưới lên, kể từ trái khoáy lịch sự nên, thứu tự gửi quyết định thức về dạng tam giác. 4. Ma trận nghịch tặc đảo Ma trận nghịch tặc hòn đảo của quái trận vuông A là quái trận 1 A mà 1 .A A E  4.1: Quy tắc lần quái trận nghịch tặc hòn đảo của quái trận A : Điều khiếu nại nhằm quái trận A sở hữu quái trận nghịch tặc hòn đảo là det A# 0 Ma trận vuông A sở hữu det A # 0 gọi là quái trận ko suy đổi thay. 1.Tính quyết định thức A . Nếu 0A  thì không tồn tại quái trận nghịch tặc đảo 2.Nếu 0A  : lập quái trận phụ phù hợp của A : 11 21 1 12 22 2* 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn A A A A A A A A A A  ( ijA phần bù đại số của ija ) 3. Dùng công thức: 1 *1 .A A A   .

4. Nói công cộng phần tính quái trận nghịch tặc hòn đảo rất dễ dàng, chỉ việc cảnh giác thực hiện từng bước là được. 4.2: Ứng dụng của quái trận nghịch tặc đảo: Giải phương trình quái trận 1 1 1 AX B A AX A B X A B        1 1 1 XA B XAA BA X BA        5. Hạng của quái trận: Hạng của quái trận là cung cấp tối đa của quyết định thức thành viên khác 0 của quái trận cơ. Tìm hạng của một quái trận: 5.1: Biến thay đổi về dạng quái trận bậc thang Các phép tắc chuyển đổi ko thực hiện thay cho thay đổi hạng: thay đổi điểm 2 loại, nhân 1 loại với một số trong những không giống 0, nhân 1 dòng với một số ít rồi nằm trong vào trong dòng không giống. Lưu ý là nếu như quái trận bậc thang sở hữu n loại và m loại toàn số 0, mặt khác sở hữu một quyết định thức cung cấp n m khác 0 thì hạng là n m Ví dụ: Hạng của quái trận 1 2 30 4 3 1 2 3 7 1 3 43 1           Biến thay đổi tương tự Khi tính quyết định thức, chuyển đổi những loại về những số 0 theo đòi trật tự kể từ bên dưới lên bên trên, kể từ trái qua nên. Tại trên đây, nằm trong loại 1 với loại 3, con người 1 với 3 rồi cùng theo với loại 2 tớ được: 12 304 0 5 735 0 5 735          . Biến thay đổi tiếp tớ có 12 304 0 5 735 0 0 0 00          . Từ cơ sở hữu hạng của quái trận là 2. 5.2: Phương pháp quyết định thức bao quanh Cố quyết định một trong những phần tử không giống 0, tính những quyết định thức cung cấp 2 chứa chấp thành phần cơ. Nếu toàn bộ những quyết định thức cung cấp 2 vì như thế 0 thì 1r  . Nếu tồn bên trên tối thiểu 1 quyết định thức cung cấp 2 không giống 0 thì xét tiếp những quyết định thức cung cấp 3 chứa chấp quyết định thức cung cấp 2 đó. Nếu toàn bộ những quyết định thức cung cấp 3 vì như thế 0 thì 2r  . Nếu tồn bên trên tối thiểu 1 quyết định thức cung cấp 3 không giống 0 thì lại xét tiếp quyết định thức cung cấp 4, cứ như vậy cho tới Khi tính được r . Nhìn công cộng sử dụng phương pháp này thực hiện khá tay chân và không phổ đổi thay vì như thế chuyển đổi về quái trận bậc thang. Ví dụ: Xét lại ví dụ phía trên. trước hết tớ xét 1 2 5 0 3 1      Xét tiếp những quyết định thức cung cấp 3 chứa chấp quyết định thức bên trên. Ta có: 1 2 3 1 2 0 1 2 4 3 1 2 3 1 3 3 1 7 0 1 3 4 1 3 3 1 3 1                                      2r 

Xem thêm: Hướng dẫn thay đổi Avatar chào mừng Tháng Thanh niên năm 2024

5. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm ĐK nhằm tồn bên trên A-1 (  A là quái trận vuông) Phương pháp: A khả nghịch tặc  det A # 0 VD1: Tìm x nhằm A khả nghịch A = ( 𝑥 2 3)( 𝑥 −𝑥 −1 ) = (x2 – 2x – 3) A khả nghịch tặc det A # 0 x2 – 2x – 3 # 0  { 𝑥 − 1 𝑥 3 VD 2: Tìm m nhằm A khả nghịch A = ( 1 1 3 2 4 6 −3 𝑚 −9 )( 1 2 𝑚 2 −3 1 −3 −6 1 − 𝑚 ) A= B * C  Det A= detB.detC Nhận thấy quái trận B sở hữu 2 cột tỷ trọng => det B = 0 ∀𝑚 => det A = 0 ∀𝑚  A ko khả nghịch tặc. Dạng 2: Tìm quái trận An -1 Vd3: Tìm quái trận nghịch tặc hòn đảo của quái trận: A = ( −1 0 2 3 1 3 2 3 1 ) Det A = 22 # 0 A11= (-1)1+1| 1 3 3 1 |= -8 A12 = (-1)1+2| 3 3 2 1 | = 3 A13 =(-1)1+3 | 3 1 2 3 | = 7 A21 = 6 A22 = -5 A23 = 3 A31=-2 A32= 9 A33= -1  Angang = ( −8 6 −2 3 −5 9 7 3 −1 ) => A-1= 1 | 𝐴| ( −8 6 −2 3 −5 9 7 3 −1 ) = ( −8 22 6 22 −2 22 3 22 −5 22 9 22 7 22 3 22 −1 22 ) Chú ý: Tính hóa học của A-1 (A-1)-1 = A

6. (AT)-1 = (A-1)T (AB)-1 = B-1 x A-1 VD 3’ : Tìm A-1 nếu như MT A tman A2 + 3A – 2E = (0) A2 + 3A – 2E = (0)  A2 +3A = A2 + 3A = 2E  A.A + 3 E.A = A.A + 3 A.E = 2E  (A + 3E)A = A(A + 3E) = 2E  1/2(A + 3E)A = 1/2A(A + 3E) = I => A-1 = ½(A + 3E) Dạng 3: Giải phương trình quái trận PP 1: sử dụng MT nghịch tặc hòn đảo ( xem xét ko dc thay đổi trật tự những quái trận ) AX = B A-1 A X = A-1B XA = B  X A A-1 = B A-1 PP2: giải hệ pttt Tìm cung cấp của X => lần thành phần của X Chú ý: nếu như A, B là MT vuông Det A=0, det B # 0 thì pt AX = B vô nghiệm VD 4: Tìm X nhằm AX = B A =( 0 2 −1 0 6 −3 −1 1 4 ) ; B =( 1 0 0 2 5 0 −1 −1 4 ) Det A= 0, det B = đôi mươi # 0 => Pt vô nghiệm VD 5: Tìm X nhằm AX = B A=( −1 −3 1 −2 ); B=( 1 2 0 1 ) Cách 1: det A = 5 A-1 = 1 5 ( −2 3 −1 −1 ) =( −2 5 3 5 −1 5 −1 5 ) X = A-1B = ( −2 5 3 5 −1 5 −1 5 ) ( 1 2 0 1 ) = ( −2 5 −1 5 −1 5 −3 5 ) Cách 2: X là MT 2x2. Giả sử X = ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 )

Xem thêm: Chuyển đổi Mét (m) sang Centimét (cm) | Công cụ đổi đơn vị

7. Phần tử của X : ( −1 −3 1 −2 )( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) = ( 1 2 0 1 )  { −𝑥 − 3𝑡 = 1 𝑥 − 2𝑧 = 0 −𝑦 − 3𝑡 = 2 𝑦 − 2𝑡 = 1 => { 𝑥 = −2/5 𝑦 = 𝑧 = −1/5 𝑡 = −3/5 => X = ( −2/5 −1/5 −1/5 −3/5 ) VD6: Tìm X thỏa mãn: { 𝐴𝑋 = 𝐵 𝑋𝐴 𝑇 = 𝐶 với A= ( 1 2); B= (2 3) C=( 4 2 ) Cấp của X: 2x 2 tìm X: { (1 2)( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 )( 1 2 ) = ( 4 2 ) => { 𝑥 + 2𝑧 = 2 𝑦 + 2𝑡 = 3 𝑥 + 2𝑦 = 4 𝑧 + 2𝑡 = 2 => { 𝑥 = 2 𝑦 = 1 𝑧 = 0 𝑡 = 1 => X = ( 2 1 0 1 ) Dạng 4: lần hạng quái trận ( tự động làm), lần ĐK của x nhằm quái trận sở hữu hạng = số tùy ý PP: đa số vận dụng cách tính ma trận bậc thang VD 7: Tìm x nhằm r(A)= 2 biết A= ( 1 2 1 1 5 1 2 4 2 𝑥 −1 𝑥2 ) A=( 1 2 1 0 3 0 0 0 0 𝑥 −𝑥 − 1 𝑥2 − 2𝑥 ) r(A) = 2  x2 – 2x = 0  x=0 hoặc x=2 VD 8: Nếu A, B cung cấp 4 khả nghịch tặc . CMR r(A.B)= r ((B)-1) A khả nghịch tặc  r(A) = cung cấp của A A, B cung cấp 4 khả nghịch tặc => A.B cung cấp 4 , khả nghịch tặc => r(A.B)=4 B-1 cung cấp 4, khả nghịch tặc => r(B-1)= cung cấp của B-1=4 => đpcm Dạng 5: Tính hóa học của phép tắc toàn bên trên quái trận Tìm quái trận B sao mang lại AB = BA tìm cung cấp của B=> những thành phần của B( dạng này kha khá tương đương dạng giải pt) ĐỊNH THỨC Dạng 1: tính quyết định thức D= det (A) TH1: Nếu D là quyết định thức quánh biệt A, có một loại hoặc 1 cột vì như thế 0 B, sở hữu 2 loại hoặc 2 cột tỉ lệ thành phần cùng nhau hoặc vì như thế nhau  D = 0

8. Th2: D là quyết định thức ko quánh biệt Dựa nhập những cơ hội tiếp tục tóm lược ở lí thuyết VD1: A=| 𝑎 + 𝑏 𝑐 1 𝑏 + 𝑐 𝑎 1 𝑐 + 𝑎 𝑏 1 | = | 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑐 1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑎 1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑏 1 |= (a+b+c)| 1 𝑐 1 1 𝑎 1 1 𝑏 1 |=0 - Khai triển theo đòi 1 loại hoặc 1 cột - Đưa về quyết định thức của quái trận đàng chéo Dạng 2: giải pt det A= f(x) PP1: tính det A và giải pt PP2: Nhẩm nghiệm Khi f(x)=0 Det A= 0 Khi A sở hữu : A, có một loại hoặc 1 cột vì như thế 0 B, sở hữu 2 loại hoặc 2 cột tỉ lệ thành phần cùng nhau hoặc vì như thế nhau Phần này chị k tiến công máy được nên chị sẽ có được ví dụ viết lách tay kèm cặp theo Dạng 3: Bài toán mối quan hệ thân mật det A, det kA, detA-1, detAT Dựa nhập đặc thù sau: Det(kAn) = kn. detAn det A.det A-1= 1 Det A = det AT det (A.B) = det A.det B VD1: Nếu A là quái trận vuông cung cấp 4 sở hữu detA = -2. Tính det(2AT) Det (2AT)= 24 det(AT) = 24det A = 16 .(-2) = -32 VD2 : nếu như A là MT vuông cung cấp 3 sở hữu det(2A) = -24. Tinh det(3A-1) Det (2A) = -24  23 detA = -24  detA = -3  detA-1 = -1/3 => det (3A-1) = 33 det A-1 = 27. (-1/3) = -9 VD3: Tìm cung cấp của MT vuông A biết: { det( 𝐴−1) = −1/3 det(2𝐴 𝑇) = 48 Giả sử A sở hữu cung cấp là n Từ pt 1 => det A = 3 => detAT = 3 Từ pt2 => 2ndetAT = 48 => n = 6 BÀI TẬP CHUNG 1. Tìm toàn bộ quái trận B kí thác hoán với quái trận A(tức là AB = BA)

9. a, A= ( 1 2 3 4 ) b, A= ( 1 −1 1 1 ) 2. Cho MT A vuông thỏa mãn nhu cầu điều kiện: A2-2013A + E = 0 Tìm quái trận nghịch tặc hòn đảo A-1 của A( nếu như tồn tại) 3. Tìm quái trận X để: ( 1 2 4 3 ) 𝑋 ( 3 −1 2 1 ) = ( 1 0 2 1 ). 4. Cho mt A=( 1 0 0 2 −1 0 3 1 −2 ) 1 2 . Tính det[(3A)-1]T 5. Tìm GTLN của những quyết định thức cung cấp 3 chỉ chứa chấp những phần tử a) 0 và 1 b) 1 và -1 ĐÁP ÁN 1. a,A và B kí thác hoán dc  B là MT 2x2 => B = ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) AB = BA  ( 1 2 3 4 ) ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) = ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) ( 1 2 3 4 )  { 𝑥 + 2𝑧 = 𝑥 + 3𝑦 𝑦 + 2𝑡 = 2𝑥 + 4𝑦 3𝑥 + 4𝑧 = 𝑧 + 3𝑡 3𝑦 + 4𝑡 = 2𝑧 + 4𝑡 ↔ { 𝑧 = 3/2𝑦 𝑡 = 𝑥 + 3/2𝑦 => B = ( 𝑥 𝑦 3/2𝑦 𝑥 + 3/2𝑦) b, A và B kí thác hoán dc  B là MT 2x2 => B = ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) AB = BA  ( 1 −1 1 1 )( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) = ( 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡 ) ( 1 −1 1 1 )  { 𝑥 − 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 𝑦 − 𝑡 = −𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑧 = 𝑧 + 𝑡 𝑦 + 𝑡 = −𝑧 + 𝑡 ↔ { 𝑧 = −𝑦 𝑡 = 𝑥 => B = ( 𝑥 𝑦 −𝑦 𝑥) 2. A2 -2013A + E = 0  A2 -2013A = A2 -2013A = -E  A.A -2013 E.A = A.A -2013 A.E = -E  (2013E-A)A = A(2013E-A) = E  A-1 =2013E-A 3. pt quái trận ( dùng quái trận nghịch tặc đảo) A.X.B = C  A-1.A.X.B.B-1 =A-1.C.B-1 ( ghi lưu giữ phép tắc nhân quái trận k sở hữu t/c kí thác hoán nên m.n xem xét k đc thay cho thay đổi trật tự những quái trận nhé) => X = A-1.C.B-1 = ( 1 2 4 3 ) −1 . ( 1 0 2 1 ). ( 3 −1 2 1 ) −1